杂题之抽屉原理练习7
1.从1,2,3,…,1988,1989这些自然数中,最多可以取出多少个数,使得其中每两个数的差不等于4?
2.从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数,使得其中任意的两数都不连续且差不等于4?
3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12中最多能选出几个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的2倍?
4.从1,3,5,7,…,97,99中最多可以选出多少个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数?
5.证明:任给12个不同的两位数,其中一定存在着这样的两个数,它们的差是个位与十位数字相同的两位数.
6.从1,2,3,…,49,50这50个数中取出若干个数,使其中任意两个数的和都不能被7整除,则最多能取出多少个数?
7.从1,2,3,…,99,100这100个数中任意选出51个数.证明:
(1)在这51个数中,一定有两个数互质;
(2)在这51个数中,一定有两个数的差等于50;
(3)在这51个数中,一定存在9个数,它们的最大公约数大于1.
8.求证:可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数.
9.有49个小孩,每人胸前有一个号码,号码从1到49各不相同.现在请你挑选若干个小孩,排成一个圆圈,使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子?
10.在边长为1的正方形内随意放进9个点,证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于.
11.某班有16名学生,每个月教师把学生分成两个小组.问最少要经过几个月,才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
12.上体育课时,21名男、女学生排成3行7列的队形做操.老师是否总能从队形中划出一个长方形,使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生,或者都是女生?如果能,请说明理由;如果不能,请举出实例.
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