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长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题

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长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题。

经典例题

例1、图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形的面积。（小升初8月1号天天练）

【详解】

方法一（分割法）：

如图①做辅助线，将原图分割成A、B两个小三角形。这两个小三角形都以辅助线为底的话，A就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的1倍，所以A的面积是1个面积单位三角形的4×1倍，即4。

同理，B就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的2倍，所以B的面积是1个面积单位三角形的4×2倍，即8。

所以，原三角形面积为：4+8=12（面积单位）。

方法二（扩展法）：

如图②将原图扩展成一个大的等边三角形，很明显这个等边三角形的边长是三角形格点的5倍，而四个扩展的三角形A、B、C、B的面积的求法与分割法中的求法类似，灵活运用倍数思想！

大的等边三角形：5×5=25

A：3×1=3

B：2×1=2

C：4×1=4

D：4×1=4

所以原三角形的面积为：25-3-2-4-4=12（面积单位）。

方法三（毕克定理）：

运用三角形格点图的毕克定理，图形内部格点数为5,图形周界上格点数为4，所以，原三角形的面积为：(5+4÷2-1)×2=12(面积单位)。

例2、如图是一组总面积为80平方厘米的七巧板，用它构成右图阴影部分的形状，这个形状内接与长方形，请问这个长方形的面积为多少？（小升初8月2号天天练）

【详解】长方形的长、宽不知道，所以不能直接用面积公式，但是告诉了另一个参照图形--七巧板的面积，此时我们要努力找出两者之间的联系！之前我们一直给出的是在格点图中的图形，现在我们不妨自己来构造格点图！

如图，将长方形分割成3×5个小正方形，而阴影面积一共占了8个小正方形，所以每个小正方形的面积是：80÷8=10（平方厘米），所以长方形的面积是：10×3×5=150（平方厘米）。

例3、如图是一个正六边形，已知它的面积是54平方厘米，求阴影部分的面积。

（小升初8月3号天天练）

【详解】正六边形与正六角星都是典型的对称图形，我们先连接正六边形的3条对称抽，如图①所示，将正六边形分成了6个一样的正三角形。

我们再来研究每个正三角形，如图②所示，我们将阴影小三角形顶点与正三角形顶点连接，不难看出，正三角形被分割成3个一样的小三角形（与阴影小三角形一样）。

对于6个正三角形都进行同样的操作，如图③所以，这样我们将整个正六边形分割成了3×6=18个阴影小三角形，可以将阴影小三角形的面积看成是1个面积单位，那么整个阴影部分面积就是6个面积单位，所以阴影部分面积为：54÷18×6=18（平方厘米）。

例4、如图，正六边形的面积是54，其中AP=2PF、CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积。（小升初8月6号天天练）

【详解】由题意知P、Q分别是AF、BC上的三等分点，我们不妨将正六边形每条边都三等分，再顺次连接这些点，如下图所示，即在例3中把正六边形分割成6个正三角形的基础上，再把每个正三角形又分割成3×3个更小的正三角形，这样我们就构造出了本专题中介绍的三角形格点图！并且所求的阴影四边形的各个顶点都在三角形格点上，所以是格点四边形，我们可以直接利用毕克定理来解题：这里N=13、L=7，所以S阴影四边形CEPQ=2N+L-2=2×13+7-2=31。

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