名师点拨：几何三大变换之构造应用
查字典西安奥数网 几何学习是小升初数学中的一大难点，西安名师提供了几何三大变换之“构造应用”附：几何辅助线超强悍口诀，祝您顺利小升初！
亲爱的同学们，辅助线是我们做题中的一大有力工具，用好这个工具可以让我们做起题来得心应手。我这里收集了一些非常规辅助线的做法，用于拓展大家的思路，供学有余力的同学学习。
在几何证明中除常见的连接、延长、作平行、作垂直等辅助线之外，还有一种作辅助线的思路，就是通过巧妙的几何变换构造出全等或是特殊图形。这种作辅助线方法我们通常称为构造性辅助线。
一、翻折构造
例1如图1，在等腰直角△ABC的斜边AB上，取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n。则以x、m、n为边长的三角形的形状是（）
A.锐角三角形；B.直角三角形；
C.钝角三角形；D.随x、m、n变化而变化
分析：
⑴要判断以x、m、n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集中到同一个三角形中；
⑵如何用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45°。
⑶为将长为x、m、n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM翻折（如图），这样可将m、x两条线段集中。再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x、m、n的三条线段就集中到了△PMN中。
由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°∴∠BCN=∠PCN，
可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n。
∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°
∴以x、m、n为边长的三角形的形状直角三角形。
提示：当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角的关系、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造。
二、旋转构造
例2如图2，已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，求此三边所对的度数。
分析：
⑴解决此题的关键依然是要将OA、OB、OC三条线段集中到同一个三角形中。
⑵考虑到等边三角形的的特点，若将△AOB绕A点旋转60°到△AMC，因为△AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA、OB、OC就集中到了△COM中。OA、OB、OC为三边所对的角即为求△COM的三个内角。
由∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x
则有6x+5x+4x=360°，x=24°，
∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°由∠AOM=∠AMO=60°
∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=36°；∠OMC=∠AMC-∠AMO=84°
∠ACM=180°-（∠MOC+∠OMC）=60°
∴以OA、OB、OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°、36°、84°。
提示：旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合，旋转角度能构成特殊角等两个条件。
三、轴对称构造
例3如图3，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边上有点Q、R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值是。
分析：
⑴要确定△PQR的周长最小，关键是如何确定Q、R的位置。而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值。
⑵已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连OM、ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形。
作P关于OA、OB的对称点M、N，连MN与OA、OB的交点Q、R，由轴对称性质，此时△PQR的周长的最小，最小周长等于线段MN的长度。
连OM、ON。由轴对称性质，OM=OP=ON=10，∠MON=90°，MN=10√2
提示：一般地，求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称，将折线段转化为直线段。
四、特殊构造
例4如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD。求证：BD2=AB2+BC2。
分析：
⑴所求证的关系为平方形式，联想到构造直角三角形运用勾股定理求证。∠ABC=30°，已BC为边向外作等边三角形△BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2+BC2转化为直角三角形△ABE中AB2+BE2。这样只需证明AE=BD即可。
⑵由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则△ADC为等边三角形。易观察到易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD。
提示：根据题设条件中的特殊角构造特殊图形（等边三角形、直角三角形、正方形等），也是几何证明中常用的辅助线。
作辅助线的方法和技巧
题中有角平分线，可向两边作垂线。
线段垂直平分线，可向两端把线连。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延长中线同样长。
成比例，正相似，经常要作平行线。
圆外若有一切线，切点圆心把线连。
如果两圆内外切，经过切点作切线。
两圆相交于两点，一般作它公共弦。
是直径，成半圆，想做直角把线连。
作等角，添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
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