一起来探讨组数的规律
让我们先来考察一个例子:
用1~9九个不同的数字,可以组成多少个各位数字不同的两位数?
因为1~9九个数字选作两位数的个位和十位都有可能,因此,我们按照一定的顺序来考察实际组数的情况。
假如,我们先在十位上选取1~9中的某个数字,比如1吧,那么,以1作十位数的两位数,它的个位数字就只有其余9-1=8(个)数字(2、3、4、5、6、7、8、9)可供选择,这样的两位数就有8个.而十位上的数字是有九个数字可供选择的,因此,总共就可以得到:
9×8=72(个)各位数字不同的两位数,这72个两位数就是。
值得我们思考的是,如果我们只用1~9这些数字中的某八个数字、七个数字、六个数字、……,那么,分别可以组成多少个各位数字不同的两位数?
按上面的做法,用八个不同数字组成两位数,先选十位上的数字有八种可能的方法,接着选个位上的数字还有七种可能的方法(也可以先选个位上的数字,再选十位上的数字),因此,共可以组成
8×7=56(个)不同的两位数。
同理,用七个不同的数字就可以组成7×6=42(个)各位数字不同的两位数。
下面的情形不必由我写出,读者可能也推想到了.那么,我希望用下面的符号记录出上面的各种情形:用m个不同的数字,可以组成多少个各位数字不同的两位数?请读者写出答案。
再来考察一个例子:
用1~9九个数字,可以组成多少个各位数字不同的三位数?
九个数字选作三位数的各位数字都有可能.假如,百位上选数字1,十位选数字2,个位上就还有除1、2以外的其余9-2=7(个)数字可以选择,就可得7个三位数.图示如下页。
而百位上选择数字1,十位上可以选择1以外的其它9-1=8(个)数字,这样就可得8×7=56(个)各位数字不同的三位数;最后,由于百位上的数字可以在九个数字中任意选择,因此,总共就可得9×8×7=504(个)各位数字不同的三位数。
毫无疑问,这些数可以按照我们的思路毫无遗漏地一一列出,但要费上好些时间和纸张。
值得大家再思索的是,如果用1~9这九个数字组成四位数、五位数、六位数、……,它们的个数该怎样求呢?
我们可以采用同样的方法。
用九个数字组成四位数,先选九个数中的某个数作千位上的数字,有九种方法;再选余下的八个数字中的某个数作百位上的数字,有八种方法,接着,选余下的七个数字中的某个数字作十位上的数字,共有七个方法;最后,选剩下的六个数字中的某个数字作个位上的数字,共有六种方法.因此,可以组成
9×8×7×6=3024(个)不同的四位数。
不必让我再啰嗦,下面组成五位数、六位数、……的情形,读者一定能够一一列出。
如果我们采用符号来记录前面的各种情形:用1~9九个数字,可以组成多少个各位数字不同的n位数?请读者自己写出答案。
综合前面的两个例子,我们的读者是不是能够概括出一般的规律:
用m个不同的数字可以组成多少个各位数字不同的n位数?
【规律】
用m个数字可以组成各位数字不同的两位数的个数是:
m×(m-1)
用九个数字可以组成各位数字不同的n位数的个数是:
9×8×……[9(n-1)]
用m个数字组成各位数字不同的n位数的个数是:
m×(m-1)×……×[m-(-1)]
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