浅析数论部分的最值问题
我们经常说的一句话就是"和一定,差小积大,差大积小"那么到底应该如何准确理解并应用它解决实际问题呢?
A+B=C
和一定,指的是A与B的和是不变的,为C。
差小积大,'差'指的是A和B的差距,A和B差距越小,乘积越大;
差大积小,理解方法同上,A和B差距越大,乘积越小。
例1用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝,问这个鸡窝的面积最大是多少?
分析:现在a+b=60÷2=30,a,b和一定,当a=b=30/2=15时,a,b的差距最小,此时a,b的乘积最大,此时鸡窝的面积最大,为ab=15×15=225
例2用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝,现在要借助一个墙角,问这个鸡窝的面积最大是多少?
分析:现在a+b=60,a,b和一定,当a=b=60/2=30时,a,b的差距最小,此时a,b的乘积最大,此时鸡窝的面积最大,为ab=30×30=900
例3用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝,现在要借助一面墙,问这个鸡窝的面积最大是多少?
分析:现在a+2b=60,a,2b和一定,当a=2b=60/2=30时,a,2b的差距最小,a=30,b=30/2=15,此时a,2b的乘积最大,为a×2b=30×30=900。注意理解a,2b乘积最大时,a,b的乘积也最大。因此此时鸡窝的面积最大,a×b=30×15=450
这里是同学们最容易错的地方。
例4用60米长的铁板围成两个并列的长方形鸡窝,现在要借助一面墙,问每个鸡窝的面积最大是多少?
分析:现在2a+3b=60,2a,3b和一定,当2a=3b=60/2=30时,2a,3b的差距最小,a=30/2=15,b=30/3=10,此时2a,3b的乘积最大,为2a×3b=30×30=900。注意理解2a,3b乘积最大时,a,b的乘积也最大。因此此时鸡窝的面积最大,a×b=15×10=150。
例5用60米长的铁板围成五个并列的长方形鸡窝,现在要借助一面墙,问每个鸡窝的面积最大是多少?
分析:现在5a+6b=60,5a,6b和一定,当5a=6b=60/2=30时,5a,6b的差距最小,a=30/5=6,b=30/6=5,此时5a,6b的乘积最大,为5a×6b=30×30=900。注意理解5a,6b乘积最大时,a,b的乘积也最大。因此此时鸡窝的面积最大,a×b=6×5=30。
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