一个常考的四边形不等关系题
四边形ABCD中,AC垂直BD,垂足为O,OA>OC,OD>OB,请问AB+CD>AD+BC吗?为什么?
证明:
因为OA>OC,OD>OB,
所以可在OA上取OM=OC,在OD上取ON=OB,
连接BM、MN、NC、AN、DM,
设AN、DM交于P,
根据“三角形中任意两边的和大于第三边”得:
AP+PD>AD,MP+PN>MN;
上述两式相加:
AP+PD+MP+PN>AD+MN,
即AN+MD>AD+MN.
因为OM=OC,ON=OB,CM⊥BN,
所以AC是BN的垂直平分线,BD是CM的垂直平分线,
且四边形BCNM是棱形,
所以AN=AB、DM=CD、MN=BC,
所以AB+CD>AD+BC.
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