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例谈数学解题思路的生成

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解题的方法，不能全靠记、全靠蒙。方法的生成是有源头的，发现解题方法的思路是有规律可循的，讲评数学难题，关键之一是讲清解题思路及其生成途径。

1例．把一个三角形分成面积相等的4个三角形，可以怎样分？你能想到几种分法（人教版数学五年级上册多边形的面积）

【分析】把一个三角形分成面积相等的4个三角形，所得的每个小三角形的面积是大三角形面积的1/4.

2发现方法的途径

2.1从知识到方法思路1三角形面积的代数公式为S＝ah2，把一个三角形分成面积相等的四个三角形，其实就是要对三角形的底边a或（和）高h进行切分，高h是顶点到对应底边的距离，为一定值，从高的概念首先容易想到对某一底边四等分（图1）。

解题思路首先是题中情境或条件或求解、求证目标，初步激活思维实现知识链接而形成，进而从包括概念、公式和定理在内的知识出发去发现方法。解题思路的生成依赖于知识链接，知识链接是形成思路并发现方法的主要途径。

2.2从数的角度切入生成方法思路2形的问题即基础的几何问题的求解、求证，需要从数量关系的角度比较、判断、分析，需要进行量的替换。形的情境或问题需要从数的角度切入、推理并解决。本例拆分底边a或（和）高h的基本思路就是依据知识，从数的角度切入而生成的。

另外，从数的角度稍做变换，可把本例的切分对象看做整体1，将一个三角形分成面积相等的4个三角形，就是把1拆分为两个1/2，再把每个1/2再均分，生成分步拆分底边的方法。将大三角形先拆分为两个面积相等的较小的三角形，即⊿DCB和⊿ACD，再将这两个较小的三角形，在不同的底边上进行平分（图2），即对大三角形做两次均等分割，有多种具体分法。

或者，先把1看做1/4＋3/4，再把3/4看做1，把后面这个1看做1/3＋2/3

从数的角度切入形的情境，把数与形相结合、相印证是一种重要的数学解题思路与方法，在精讲例（习）题时应该给予关注。习题讲评，不仅要起到对知识、方法加强记忆与理解的作用，更主要的是培养学生的思维能力。训练学生的思维，捕捉思维的目标指向是关键之一，在解析或讲评例、习题时，把数和形结合起来，从数的角度切入、推理，打开解决关于形的问题的思路，或用形的方式表述、印证数量关系，可拓宽思维的视角，是发现思维目标指向的有效途径，对培养学生的思维能力很有效。

从数的角度切入形的情境并解决问题，能够拓展思维的深度。不过，小学生的抽象思维能力有限，讲解数量关系及其变换，往往需要对照图形呈现、分析。

2.3变换角度生成方法思路3图1所示的方法，从概念推知也好，凭直觉蒙也好，学生容易想到。从图1的图形来看，这一方法可看做用D点平分AB，再用G与K点分别平分BD与AD。换个角度也可看做先用G点分割出⊿GCB和⊿ACG，再用D与K点对⊿ACG进行三等分分割。即生成新的分切方法：按1︰3切分某一底边产生一小一大两个三角形⊿GCB和⊿ACG，再将较大的⊿ACG切分为3个面积相等的小三角形，可以直接将某个底边三等分或分步切分，也生成许多具体分法。

变换角度是形成新的思路的有效途径，能够生成相关联的新方法，能够拓展思维的视野。

2.4从方法到方法思路4关注图2中D、F分别是AB、BC的中点和⊿DBF的面积是⊿ABC的面积的1/4，在小学生没有三角形的中位线定理作支撑的情况下，可生成取各个底边的中点相互连接的切分方法（图3），还可以生成关于三角形中位线的探究问题。

一种解题方法可以生成另一条思路、另一种方法，当一题有多解时，先让学生试解，再组织讨论或评析学生的普通解法，引导未发现其他方法的同学借鉴思路或关注普通方法所得解答中的特点，去发现新的方法，例如由本例的思路1生成思路2与思路3、思路2生成思路4，可以引导学生在合作与分享中生成新思路发现新方法。

2.5置疑与探究中生成方法思路5方法1、2、3是对底边进行分割，能对高h进行分割吗？如果拆分高h，底边的位置和长度就会发生变化。虽然单独拆分高h行不通，但可以启示同时拆分底边a和高h。这一思路与思路4相关联且殊途同归，得到同样的分切图形。

大三角形的面积为ah2，把底边a和高h分别平分得到的小三角形的面积为：

a/2h/22＝ah/42

正好是大三角形面积的1/4。先作平行于AB的DE线段垂直平分高h，得到⊿ADE，再平分底边BC得到点F，连接D和F、E和F，可得另外三个小三角形（图3）。图3中的⊿DBF、⊿EFC的面积为⊿ABC面积的1/4，分别为⊿DCB、⊿EBC面积的一半；所以，⊿DCB、⊿EBC面积为⊿ABC面积的一半，⊿DCB、⊿ACD面积相等，以C为顶点，⊿DCB和⊿ACD的底边AD与DB相等，D为AB的中点，同理E为AC的中点。

⊿ADE、⊿DFE的面积之和为⊿ABC面积的一半，⊿ADE和⊿DFE同底等高，与⊿DBF、⊿EFC面积相等且等高，故这四个面积相等的等高三角形的底边等长，即DE等于BF与FC，等于AB的一半。

直接走到同时拆分底边a和高h的思路上来是困难的，因为小学生没有三角形的中位线定理做支撑，在引导学生做单独切分高h的可行性分析时，不少学生难以做出（正确）判断。虽然有的难点在某些教学环境中可以淡化或放弃，但突破难点的方法不过是一个巧字，巧生于拙，由拙生巧突破难点是重要的技巧。由知识链接形成思路发现方法并完成求解、求证，平淡无巧似于拙，笨拙的思路与方法有时不能快速或完全解决问题，但对多数学生管用，还可生成新的思路与方法。例如，不经过明显的知识链接过程，大多数学生能够想到或蒙到直接将一条底边4等分的方法，此法虽然普通，却能通过变换角度产生分步切分底边的思路而发现新方法，能产生值得关注的D、F点和⊿DBF生成思路4.

有些习题，可以展示参考答案给学生自己去核对、去领悟，有些习题则可精心讲评。依据新课程理念，设计好突破思维难点的环节、程序，设计好引导或置疑的有效问题，把握好讲评的节奏，使学生知道解题思路、方法是如何生成的，找到方法的源头，真真明了解题思路和各种思路之间的关联，明晰思维的过程，学生的思维能力才能得到有效提升，方能构建高效的数学讲评课堂。

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