[答案]2011.6.24四年级奥数天天练
难度:★★★★
小学四年级奥数天天练:抽屉原理
证明任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。
【答案】
考虑每个自然数被5除所得的余数。即自然数可以作为物品,被5除所得余数可以作为抽屉。显然可知,任意一个自然数被5除所得的余数有5种情况:0,1,2,3,4。所以构造5个抽屉,每个抽屉中所装的物品就是被5除所得余数分别为0,1,2,3,4的自然数。运用抽屉原理,考虑“最坏”的情况,先从每个抽屉中各取一个“物品”,共5个,则再取一个物品总能在先取的5个中找到和它出自于同一抽屉的“物品”,即它们被5除余数相同,所以它们的差能整除5。
难度:★★★★★
小学四年级奥数天天练:数论
a>b>c是3个整数。a,b,c的最大公约数是15;a,b的最大公约数是75;a,b的最小公倍数是450;b,c的最小公倍数是1050。那么c是多少?
【答案】
(a,b,c)=15=3×5,所以a,b,c中都含有1个3,1个5。(a,b)=75=3×5×5,所以a,b中都含有1个3,2个5。
[a,b]=450=2×3×3×5×5,因为a>b,a可能再含有1个3,b再含有1个2;或者a含有1个6,b含有1个1。
[b,c]=1050=2×3×5×5×7,因为b>c,所以b中还含有1个2,c中还含有1个7。
即:b=3×5×5×2=150,c=3×5×7=105,a=3×5×5×3=225。
答:c是105。
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