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透析杯赛“中点相遇”及“两次相遇”命题原理和解题技巧

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查字典武汉奥数网11月14日：本文通过举一反三，透析小升初奥数杯赛考试中的行程问题——“中点相遇”及“两次相遇”命题原理和解题技巧！

第一篇：【透析杯赛“中点相遇”命题原理和解题技巧】

是指在距离中点的某个地方相遇。借助中点，可以帮我们找到两人的路程差（即‘多走的路程’是相遇地点距离中点路程的2倍），再结合速度差，可以求出相遇时间和总路程。解题时，关键要把握两种情形：同时出发和不同时出发。下面我们以几个典型试题为例进行具体分析和拓展，以便同学们熟练掌握这种题型的命题特点和答题技巧。

【举一】

小花猫和小花狗是一对好朋友，它们分别从A、B两地同时出发，相向而行，小花猫每分钟行80米，小花狗每分钟行100米，它们在途中的C处相遇。问：A、B两地之间的距离是多少米？

考点透析：围绕中点找两人的路程差。由于小花猫先走9分钟，走了80×9=720米，结果小花猫先过中点。解题核心是找出猫和狗在‘相遇时间’内的路程差。相遇时，小花猫比小花狗多走280×2=560米，这560米是小花猫提前9分钟的结果，但为什么不是720米呢？即9分钟后，小花狗在‘相遇时间’内又追回了80×9－560=160米，进而可知‘相遇时间’是160÷（100－80）=8分钟。

解答：280×2=560（米）

80×9-560=160（米）

160÷（100-80）=8（分）

80×9+（80+100）×8=2160（米）

答：略。

【反三】

1、甲、乙两人同时从两地相向跑步而行，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，两人刚好在距中点3千米处相遇，问两地相距多少千米？

考点透析：同时出发，则相遇时间就是走完全程的时间。路程差是相遇点距离中点的2倍，2×3=6千米，再根据甲乙的速度差可以求出相遇时间。

解答：3×2=6（千米）

6÷（12-10）=3（小时）

3×（12+10）=66（千米）

答：略。

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2、甲、乙二人从A，B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇。如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇。甲晚出发了多少分钟？

考点透析： 甲晚出发的时间=乙第二次需要的时间－甲第二次需要的时间。题目中有两个与中点相关的路程，根据第一次相遇地点与中点比较，可以求出总路程；根据第二次相遇地点与中点比较，可以求出第二次相遇后，甲、乙各自行走的路程和时间。

解答：60×2÷（80-70）=12（分）

12×（80+70）=1800（米）

（1800÷2+220）÷70=16（分）

（1800÷2-220）÷80=8.5（分）

16-8.5=7.5（分）

答：略。

3、在一个边长为17米的正方形ABCD的A点，有红、蓝两个甲虫从9点开始，同时沿着边以相同的速度爬行。红甲虫由A－B－C－D，蓝甲虫由A－D－C，9：30红甲虫爬到AB间距A点10 米的E点后继续向前爬行，10：15爬到BC间的F点，再经过C向前爬去，蓝甲虫爬到AD间距D点5米的G点，休息一会再往前爬行。当两个甲虫在CD上H点相遇时，凑巧四边形EFHG的面积是正方形面积的一半，问蓝甲虫在G点休息了多长时间？

考点透析： 这个题目的核心是考察中点相遇。两虫速度相同，如同时出发，中途不休息，两虫会同时到达C点（即中点），但是如果有一方休息，那么另一方就会超过中点与其相遇，‘多走的路程’所需的时间即为休息时间。

解答：设DH为x，则HC=17-x，因为四边形EFGH的面积是正方形面积的一半，所以图形中四个三角形的面积和为正方形面积的一半。则有：

10×12÷2+7×8÷2+5x÷2+9（17-x）÷2=17×17÷2

x=10

相遇地点距离中点的路程：17-10=7（米）

红甲虫比蓝甲虫多走了：7×2=14（米）

因为爬行10米要30分钟，所以爬行14米要30÷10×14=42（分），所以蓝甲虫休息了42分钟。

答：略。

第二篇：【透析两次相遇的命题原理和解题技巧】

“ 两次相遇”问题，是指出发后相遇两次，通常根据两次相遇地点与某个地方的距离可以求出两地之间的路程，或由此衍生出来的其它问题。这是相遇问题中一种非常典型的题型，是升学、择校、竞赛等检测中的常考知识。解决两次相遇问题，关键是把握两次相遇合走多个全程，以及每个物体各走的路程与全程的关系，同时灵活应对“同时与不同时”、“同地与不同地”、“同向与不同向”出发的特点。以下是两次相遇合走三个全程与四个全程的情况，供大家了解：

【举一】

甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出,在距A侧60千米处第一次相遇，相遇以后，两车继续前进，到达对方出发站后又立即返回，在距B侧40千米处第二次相遇。求A、B之间的路程？如果两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇？

考点透析： 如图若只看甲的轨迹，可以发现，第二次相遇时，甲走了一个全程多40千米；第一次相遇时，甲走了60千米，说明甲乙每合走一个全程，甲都会行60千米。第二次相遇，甲乙合走三个全程，则甲走3个60千米，即180千米，那么一个全程是180—40=140千米.若继续前进，三次相遇合走五个全程，进而可知第三次相遇的位置即甲现在的位置.

解：（1）60×3—40=140（千米）

（2）60×5=300（千米）

300—140×2=20（千米）距离A侧20千米处

或者140—20=120（千米）距离B侧120千米处

答：略.

【反三】

1、甲、乙两辆汽车分别以不同的速度从A、B两城相对而行，途中相遇，相遇点距A城80千米，相遇后两车继续以原速前进，到达对方出发地后，两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距A城50千米。求A、B两城相距多少千米？如果两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇？

考点透析：两次相遇共走三个全程.因而甲共走了3个80千米，即240千米。但第二次相遇的位置是距离A城50千米，而不是距离B城，有什么区别？如果甲车继续向前走50千米回到A城的话（如图），它走的路程正好是一去一返两个全程，从而知道AB的距离.若继续前进，到第三次相遇时，两车还需要走完两个全程，甲应再走2×80=160千米，甲不仅可以回到A城，还可以再走160—50=110千米.

解：（1）80×3+50=290（千米）

290÷2=145（千米）

（2）2×80=160（千米）

160—50=110（千米）距离A城110千米处

或者145—110=35（千米）距离B城35千米处

答：略.

2、甲、乙两辆汽车从AB两地同时相向而行，第一次相遇时甲走了75千米，相遇后两车继续以原速行驶，分别到达BA后，立即返回，在距中点B侧15千米处再次相遇。AB两地相距多少千米？

考点透析：两次相遇共走三个全程.而问题的关键是，若甲第二次相遇后，再走15千米，则甲走的路程正好相当于一个半全程！（思考：如果是距离A侧15千米呢，你会吗？）

解：75×3+15=240（千米）

240÷（1+0.5）=160（千米）

答：略.

3、甲、乙两辆汽车同时从A城出发，并在A城和B城之间往返行驶，甲的速度是70千米/时，比乙的速度更快，两车第一次相遇时距离A城100千米，第二次相遇时距离A城40千米，请问从出发到第二次相遇需要几小时？

考点透析：这里的两次相遇，还是三个全程吗？注意是从同一地出发，即同向而行。因而第一次相遇，必定是速度快的甲先到达B城，然后再调头与乙相遇，所以两车共走了两个全程，此时距离A城100千米，说明在两个全程中乙车只走了100千米.那么第二次相遇时，两车共走了四个全程，乙车应走2个100千米，即200千米，如果乙车继续向前走40千米的话（如图），则它走的路程就是两个全程，一个全程是（200+40）÷2=120千米.那四个全程的和，以及甲共走的路程分别是多少呢？再用甲走的路程除以甲的速度，就是出发到第二次相遇的时间.

解：（100×2+40）÷2=120（千米）

120×4=480（千米）

480—200=280（千米）

280÷70=4（小时）

答：略.

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