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小升初分班考理清5种解题思路

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今年“小升初”进入“最后一战”阶段，大部分重点中学本月完成“入学摸底测试”。由于现在小升初没有统一考试了，名校生源“不整齐”，因此分班考试是孩子们一路过关斩将，升入初中后，从“虎班”进入“龙班”的唯一途径。

小升初分班考≈国考+竞赛

记者搜罗了人大附中、首师大附中、师达中学、十三中分校等近10所名校的分班考题发现，在最后的“独木桥”上，数学题是难点，奥数做主打，题型比较多。有研究生体验后发现，“小升初”数学考题形似国考、神似竞赛。

考什么?

分班考试奥数占“重头”

人大附中初中数学老师宁少华向记者介绍，根据往年经验，大部分学校分班考试科目涉及语、数、外3科(也有只考奥数的)，但是主要还是看数学成绩，考查学生的综合能力与拓展能力。

其中，奥数题所占比重最大，主要考查学生的数学思维，题型都是中学数学、物理等学科中将会用到的，如行程、直线型面积、数论等。

数学考题=30%小学课堂知识(难度小)+65%小学奥数内容(难度大)+5%初一简单知识内容(难度小)

题型分布表

分数裂项浓度问题整除问题弦图逻辑综合概率列方程解应用题公式类行程问题整数裂项与换元归纳与递推复杂工程问题直线型面积变速变道问题最值问题综合

怎么考?

理清思维脉络重点5种解题思路可循

记者统计梳理了今年近10所名校“小升初”的数学考题，查字典“小升初”奥数名师刘森至指出，解题过程中要使思维脉络清晰化，思维脉络的重点理清了，一切问题也就迎刃而解了，并归纳出5种解题思路。

解题思路一：假设法

典型题目：在老北京的一个胡同大杂院里，住着4户人家，巧合的是每家都有一对双胞胎女孩。这四对双胞胎中，姐姐分别是ABCD，妹妹分别是abcd。一天，一对外国游人夫妇来到这个大杂院里，看到她们8个，忍不住问：“你们谁和谁是一家的啊?”B说：“C的妹妹是d。”C说：“D的妹妹不是c。”A说：“B的妹妹不是a。”D说：“她们三个人中只有d的姐姐说的是事实。”如果D的话是真话，你能猜出谁和谁是双胞胎吗?

专家解析：假设B说的是事实，则C就是d的姐姐，按D的依据就是C也为真，那么出现有两个人说的是事实，与题意矛盾，所以B说的不是事实，同时也知道C不是d的姐姐，则B、C的话都是假的，所以只有A说的是真话，则A就是d的姐姐，A说B的妹妹不是a，又不可能是d，所以B的妹妹只可能是b或c。根据C的假话知道D的妹妹就是c，B的妹妹就是b，最后C的妹妹就是a。

解题思路二：计算法

典型题目1：乌龟和兔子赛跑的原版，是由于兔子过于贪玩乌龟胜出了。现在有一总长4.2km的路程，兔子每小时跑20km，乌龟每小时跑3km。乌龟不停地跑。但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟，然后玩15分钟。又跑2分钟，再玩15分钟……那么，先到终点的比后到终点的要快多少分钟?

专家解析：根据它们的行驶速度可首先推断出各自所用时间：乌龟跑了4.2÷3×60=84分钟，兔子跑了4.2÷20×60=12.6分钟，兔子在跑完全程所用的时间为1+15+2+15+3+15+4+15+2.6=72.6分钟。

所以兔子先到终点，并且快于乌龟84-72.6=11.4分钟。

典型题目2：一个人在一个大户人家里做仆人。大户人家的主人给仆人一根3尺长，宽厚均为1尺的木料，让仆人把这块木料做成木柱。仆人就把这块木料放到秤上称了一下，知道这块木料重3kg，即将做成的木柱只重2kg。于是仆人从方木上砍去1立方尺的木材，但主人认为仆人这样做不合理。仆人该怎么向主人解释呢?

专家解析：仆人可以做一个箱子，保证箱子内部的尺寸与最初的方木相同，然后将雕刻好的木柱放入箱子内，再向箱子里加入沙土，直至把箱子完全填实，并且使箱内沙土与箱口齐平。之后仆人可以轻轻将木柱取出，保证不带出沙粒，再把箱内的沙土捣平，量出剩余的深度为1尺，即木柱所占的空间为2立方尺。即证明仆人砍的没错。

解题思路三：排除法

典型题目1：张涛、李明和赵亮三人住在三个相邻的房间内，他们之间满足这样的条件：

(1)每个人喜欢一种宠物，一种饮料，一种啤酒，不是兔就是猫，不是果粒橙就是葡萄汁，不是青岛就是哈尔滨;(2)张涛住在喝哈尔滨者的隔壁;(3)李明住在爱兔者的隔壁;(4)赵亮住在喝果粒橙者的隔壁;(5)没有一个喝青岛者喝果粒橙;(6)至少有一个爱猫者喜欢喝青岛啤酒;(7)至少有一个喝葡萄汁者住在一个爱兔者的隔壁;(8)任何两人的相同爱好不超过一种。

问：住中间房间的人是谁?

专家解析：根据条件1，每个人的三爱好组合必是下列组合之一：A。葡萄汁，兔，哈尔滨;B。葡萄汁，猫，青岛;C。果粒橙，兔，青岛;D。果粒橙，猫，哈尔滨;E。葡萄汁，兔，青岛;F。葡萄汁，猫，哈尔滨;G。果粒橙，兔，哈尔滨;H。果粒橙，猫，青岛。根据条件5，可以排除C和H。

于是，根据条件6，B是某个人的三嗜好组合;根据条件8，E和F可以排除;再根据条件8，D和G不可能分别是某两人的三嗜好组合;因此A必定是某个人的三嗜好组合;然后根据条件8，可以排除G;于是余下来的D必定是某个人的三爱好组合。

根据2、3和4，住房居中的人符合下列情况之一：喝青岛而又爱兔，2.喝青岛而又喝果粒橙，3.爱兔而又喝果粒橙。既然这三人的三爱好组合分别是A、B和D，那么住房居中者的三爱好组合必定是A或者D，那么三个人的房间排序如下所示：B、A、D或B、D、A。

根据条件7，可排除D;因此，根据条件4，赵亮的住房居中。

典型题目2：有10个人站成一队，每个人头上都戴着一顶帽子，帽子有3顶红的，4顶黑的，5顶白的。每个人不能看到自己的帽子，只能看到前面的人的，最后一个人能够看到前面9个人的帽子颜色，倒数第二个人能够看到前面8个人的帽子颜色，以此类推，第一个人什么也看不到。

现在从最后面的那个人开始，问他是不是知道自己所戴帽子的颜色，如果他回答不知道，就继续问前面的人。如果后面的9个人都不知道，那么最前面的人知道自己颜色的帽子吗?为什么?

专家解析：最后一个人不知道自己所戴帽子的颜色，那么他的帽子和剩下的两顶帽子属于两种以上的颜色，通过排除，知道他的帽子和剩下的两顶帽子分属于三种颜色，第九个人不能判断自己所戴帽子的颜色，也是如此，以此类推，第一个人就能知道自己帽子的颜色为白色。

解题思路四：分析法

典型题目：两个直径分别是2和4的圆环，如果小圆在大圆内部绕大圆转一周，那么小圆自身转了几周?如果在大圆的外部转，小圆自身又要转几周呢?

专家解析：两圆的直径分别为2、4，那么半径分别为1、2。假如把大圆剪开并拉直，那么小圆绕大圆转一周，就变成从直线的一头移动到另一头。因为这条直线长就是大圆的周长，是小圆周长的2倍，所以小圆需要滚动2圈。

但现在小圆在沿大圆滚动的同时，自身还要转动。小圆在沿着大圆滚动1周并回到原出发点的同时，小圆自身也转了1周。

如果小圆在大圆的内部滚动，其自转的方向与滚动的转向相反，因此小圆自身转了1周;如果小圆在大圆的外部滚动，其自转的方向与滚动的转向相同，因此小圆自身转了3周。

解题思路五：观察法

典型题目：观察图形：○●○●●○●●●●○●●●●●●●●○……前200个珠子中有多少个黑色的?

专家解析：看图形可知，白色珠子一次一个，黑珠子除第一个外，其余是按照2的n次方的规律排下去。第一块黑珠子有1个，第二块有2个，第三块有2*2=4个，第四块有2*2*2=8个，第五块有2*2*2*2=16个，第六块有2*2*2*2*2=32个，第七块有2*2*2*2*2*2=64个，第八块有2*2*2*2*2*2*2=128个。

这样可推断出，前200个珠子中有8个白的，有192个是黑的。

研究生体验

形似国考题神似竞赛题

记者拿着搜罗的分班考试题找到正在清华大学就读研究生二年级的李永新，仅10道题，他就做了近两个小时，A4大的草稿纸用了2张，密密麻麻画满了演算图、公式、思路过程。

“这和我去年年底参加公务员考试的题目非常接近。”他表示，从题目看和国考题非常相似，解题就是绕圈子，需要考生的分析能力超强，解题对外经贸大学大四学生王曼宁在做过试题后告诉记者，去年年底，她参加了全国大学生数学竞赛，现在做这些题，好像似曾相识。有些分析题已经涉及大学知识点，并需要利用数学建模的知识。

●名词解释

数学建模

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子。

也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

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