余数问题及剩余定理简要释疑
剩余定理用来解一些不能直接套用公式的余数问题还是很好用的,坛子里不时会有人问起,相信都是对原理不甚了解所致。
下面我想结合一道具体的实例谈谈自己的一点浅见,希望能够对有需要的人起到一点帮助。
例1:一个数除以9余5,除以7余1,除以5余2,问最小的这个数是多少?(自然数)
假设这个数x=35a+45b+63c(35为5,7公倍数;45为5,9公倍数;63为7,9公倍数)
条件1:除以9余5,45b和63c都可被9整除,因此35a除以9余5,可知35a=140时满足(a=4这个值需要尝试,属于计算问题)
条件2:除以7余1,35a和63c都可被7整除,因此45b除以7余1,可知45b=225时满足
条件3:除以5余2,35a和45b都可被5整除,因此63c除以5余2,可知63c=252时满足
因此当x=140+225+252+315n时,条件1,2,3都满足
X=315n+617
n=-1时,x取最小值302
----------------------------------------------
以上套路看似繁琐,其实原理知道了,还是挺便捷的
一般问题(3个条件)的剩余定理解法应该是
1:构造3个数a,b,c
x=a+b+c(a是2,3除数的公倍数,满足条件1)(b是1,3除数的公倍数,满足条件2)(c是1,2除数的公倍数,满足条件3)
a-----------条件1
b-----------条件2
c-----------条件3
2:这个数可以写作x=T*n+a+b+c(T为3个除数的公倍数)
3:根据题目所问,或者求最小的数,或者求满足条件的数有几个
======================================================
特殊的余数问题还有个小口诀
1:和同加和
2:余同加余
3:差同减差(公倍数作周期)
例2:一个数除以5余2除以4余3,除以9余7,满足条件的三位数有几个?
5+2=4+3此为和同,因此x=20a+7(20为公倍数,+7为加和)
x=20a+7=9b+7,此为余同,因此x=180n+7(180为公倍数,+7为加余)
n取[1,5]共5个
-----------------------------------------
例3:一个数除以5余1,除以6余2,满足条件的三位数有几个?
x=5a+1=6b+2
5-1=6-2=4,此为差同,因此x=30n-4
n取[4,33]共30个
--------------------------------
有些余数问题可以套用公式的比较简单,不能套用公式的计算是避免不了的,因此只有平时多加练习考试才能遇而不乱~~
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