2010年小升初数学巧求最大公约数精讲2
2010年小升初数学专项复习-巧求最大公约数2
(1)小数缩倍法
就是求两个数的最大公约数时,如果这两个数不成倍数关系,就把小数依次除以2、3、4……,直到除得的商是较大数的约数为止,那个商就是所求的最大约数。
例如,求45和75的最大公约数。
45÷3=15,15|75,则(45,75)=15。
(2)差除法
如果两个数的差能整除较小的数,那么这个差就是这两个数的最大公约数。
已知a-b=c,且c|b(a>b)。
求证(a,b)=c。
证明:由 c|b,设 b=cq。
于是 a=b+c=cq+c=c(q+1)。
在a=c(q+1)和b=cq中,
因为(q+1,q)=1,
所以(a,b)=c。
例如,求91和98的最大公约数。
∵ 98-91=7, 7|91,
∴(91,98)=7。
(3)倍差除法
当出现找出的差不能整除小数时,把小数再扩大几倍,使之略超过大数,用新得的数减去大数的差去除小数。
例4 求112与420的最大公约数。
112×4=448, 448-420=28,
28|112,
则(11,420)=28。
例5 求168与630的最大公约数。
168×4=672, 672-630=42,
42|168,
则(168,630)=42。
能够这样解的依据是什么呢?现证明如下(字母均为自然数)。
如果nb-a=c,c
那么(a,b)=c。
证明:设t是a,b的公约数,则t|a,t|b,
∴nb-a=c,且c
∵t|nb,t|c,
因此,a,b的公约数一定是b、c的公约数。
同理也可证明b、c的公约数一定是a、b的公约数。所以a、b的最大公约数等于b、c的最大公约数。即:
(a,b)=(b,c)。
又∵c|b,
∴(a,b)=(b,c)=c。
或用差的从大到小的因数试除。
例6 求161和115的最大公约数。
161-115=46。
∵46115,
而23|115,
∴(161,115)=23。
例7 求95和152的最大公约数。
∵ 95×2-152=38,
且3895,
但19|95,
∴(95,152)=19。
这种方法,也适用于求三个以上数的最大公约数。
例8 求217,62和93的最大公约数,
因为217-62-93=62,
且31|62、31|93,
所以(217,62,93)=31。
例9求 418、494和 589的最大公约数。
因为494-418=76,76418,
418-(76×5)=38,38|76,
则(418,494)=38。
而589-(38×15)=19,19|38,
所以(418,494,589)=19。
例10 判断255和182是否互质。
255-182=73,73182,
182-(73×2)=36,3673,
而73-(36×2)=1,
所以(255,182)=1,即为互质数。
4862-2618=2244,
2618-2244=374,374|2244,
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