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小升初奥数专题讲解：排列与组合

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问题：小明所在的班级要选出4名中队长，要求每位同学在选票上写上名字，也可以写自己的名字。结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象：就是任意取出2张选票，一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。请问：小明所在的班级共有多少人？

总体逻辑思路：首先，假设题目所说的情况存在。然后，得出班级人数。最后，构造出一个例子，说明确实存在这种情况。

我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。

思路简介：我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。由于平均每人被选了4次，既然没有人被选了4次以上，肯定也不存在被选了4次以下的人。所以，可以得到每个人恰好被选了4次。

首先证明没有人被选了4次以上，我们用反证法。

假设有一个人被选了4次以上（由于很容易证明这个班的人数肯定不少于7人，所以我们可以假设有一个人被选了4次以上），我们设这个人为A同学。接下来我们来证明这种情况不存在。

把所有选择A同学的选票集中到一起，有5张或5张以上。方便起见，我们把这些选票编号，记为A1选票，A2选票，A3选票，A4选票，A5选票，…。意思就是选择A同学的第1张选票，选择A同学的第2张选票，…。

这些选票都选择了A同学。由于任意2张选票有且只有1个人相同，所以这些选票上除了A同学外，其他都是不同的人。

我们还可以证明，这些并不是全部的选票，不是太难，就不证明了。

既然这些（所有选A同学的选票）不是全部的选票，我们再拿一张没有选择A同学的选票。方便起见，称之为B选票。

根据任意2张选票有且只有1个人相同，A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。

同样道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。

由于B选票上只有4个不同的人，而A1、A2、…，的数量大于4.所以，A1、A2、A3、…选票中至少有2张选票，除了A同学外还有一个共同的候选人。根据任意2张选票有且只有1个人相同，我们知道这是不可以的。

所以，没有人被选了4次以上。

由于平均每人被选4次，既然没有人被选4次以上，当然也就不可能有人被选4次以下。

所以，每个人恰好被选了4次！

证明了每个人都恰好被选了4次后，下面我们用两种方法来求出班级的人数。

方法一：解方程设这一班有n个人，从n张选票里面任选2张有C（n，2）=n（n-1）/2种情况。

由于任意2张选票都有且只有1个人相同，所以每一种情况都代表了一种2张选票重复选择了同一个人的情况。（这句话不太好理解，暂时没有想到好的表述）

每一个人都被选了4次，则2张选票重复选择了同一个人的情况又等于nC（4，2）=6n

所以n（n-1）/2=6n解得n=13.

方法二：分析论证，计算我们从所有选票中拿出一张，这张选票上有四个人，方便起见记为甲、乙、丙、丁四个人。

除了我们拿出的这张选票外，所有选甲的选票组成集合[甲].所有选乙的选票组成集合[乙].所有选丙的选票组成集合[丙].所有选丁的选票组成集合[丁].

由于每个人都恰好被选了4次，所以[甲]、[乙]、[丙]、[丁]四个集合中都有3个元素。而且这四个集合没有交集。

每个集合有3张选票，再加上我们拿出的这张选票，一共有4×3+1=13张选票，即13个人。

下面我们证明选票数不能多于13张。还是用反证法。

假设选票数多于13张，我们从中取14张。从这14张选票中我们拿出一张称为C选票。除了C选票外还有13张选票，C选票上有4个不同的人，这13张选票中的每一张都有一个人和C选票上的一个人是相同的。这样13张选票中至少有4张选择了C选票上的同一个人，这样再加上C选票，就有5个人选择了同一个人。

根据前面的结论，没有人被选了4次以上，所以选票数不能多于13张。而且只能是13张。

所以只有13张选票，即只有13个人。

下面说明这种情况确实存在。

给出一种投票结果即可。

（1，2，3，4）

（1，5，6，7）

（1，8，9，10）

（1，11，12，13）

（2，5，8，11）

（2，6，9，12）

（2，7，10，13）

（3，5，9，13）

（3，6，10，11）

（3，7，8，12）

（4，5，10，12）

（4，6，8，13）

（4，7，9，11）

方法三：网上搜到得一种方法，设班级有x个人，那么x张票中总共有4x（有重复）个名字，也就是说班级里每个人的名字平均出现4次，（1）如果有一个人的名字在所有票中都出现，那么x张票应该有不重复的名字3x+1个，这与班级有x个人矛盾，（2）如果一个人的名字在5张票中都出现过，那么假设为（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）（1，14，15，16）那么你无法构造一个不包含1，但与前面5张票都有一个同名的票，所以一个人的名字在所有票中最多出现4次，并且每个人的名字在所有票中平均出现4次，那也就是说每个人的名字在所有票中出现4次假设包含1的票为（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）其中2出现了1次，之后构造其他包含名字2的3张票为（2，5，8，11）（2，6，9，12）（2，7，10，13）

之后构造分别包含名字3，4的各3张票。发现符合题意，所以这个班有13人。

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